ریاضی یازدهم صفحه 131 - تمرین 1
1 برای تابع $f$ با ضابطه $f(x) = 3x^2 + 2x - 7$ ،
الف) با تکمیل جاهای خالی $\lim_{x \to 1} f(x)$ را به دست آورید.
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (3x^2 + 2x - 7)$
$= \lim_{x \to 1} (3x^2) + \lim_{x \to 1} (2x) - \lim_{x \to 1} 7$
$= 3\lim_{x \to 1} x^2 + ....... + .......$
ب) $f(1)$ را محاسبه کنید و درستی تساوی $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ را بررسی کنید.
پ) درباره تابع $g$ با ضابطه $g(x) = \frac{1}{8} x^4 - x^3 + 5x - \frac{1}{2}$ ، درستی تساوی $\lim_{x \to 2} g(x) = g(2)$ را بررسی کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 131 - تمرین 1
هدف از این تمرین، آموزش استفاده از **قوانین حد** (حد مجموع، تفاضل و ضریب ثابت) و درک این موضوع است که در توابع چندجملهای، مقدار حد در یک نقطه با مقدار تابع در آن نقطه برابر است.
**حل بخش الف:**
برای محاسبه حد، از ویژگی تفکیکپذیری حد نسبت به جمع و تفریق استفاده میکنیم.
$\lim_{x \to 1} f(x) = 3\lim_{x \to 1} x^2 + 2\lim_{x \to 1} x - \lim_{x \to 1} 7$
با جایگذاری مقدار حد $x \to 1$ داریم:
$3(1)^2 + 2(1) - 7 = 3 + 2 - 7 = -2$
بنابراین جاهای خالی با $2\lim_{x \to 1} x$ و $- \lim_{x \to 1} 7$ پر میشوند و حاصل نهایی **-2** است.
**حل بخش ب:**
مقدار تابع را با جایگذاری مستقیم $x=1$ در ضابطه حساب میکنیم:
$f(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 7 = 3 + 2 - 7 = -2$
مشاهده میکنیم که $\lim_{x \to 1} f(x) = -2$ و $f(1) = -2$ است.
پس تساوی $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ **برقرار است**.
**حل بخش پ:**
تابع $g(x)$ یک تابع چندجملهای است.
میدانیم در تمام **توابع چندجملهای**، حد تابع در هر نقطه دلخواه $a$ با مقدار تابع در آن نقطه برابر است.
ابتدا مقدار تابع را حساب میکنیم:
$g(2) = \frac{1}{8}(2)^4 - (2)^3 + 5(2) - \frac{1}{2} = \frac{16}{8} - 8 + 10 - 0.5 = 2 - 8 + 10 - 0.5 = 3.5$
مقدار حد نیز به همین صورت محاسبه میشود:
$\lim_{x \to 2} g(x) = \frac{1}{8}(2)^4 - (2)^3 + 5(2) - \frac{1}{2} = 3.5$
بنابراین در این تابع نیز تساوی $\lim_{x \to 2} g(x) = g(2)$ **درست است**.
**جمعبندی:**
یاد گرفتیم که برای یافتن حد توابع چندجملهای کافی است عدد نقطه حد را در ضابطه جایگذاری کنیم.
ریاضی یازدهم صفحه 131 - تمرین 2
2 الف) مطلوب است : $\lim_{x \to 3} \frac{2x - 1}{x^2 - 4x + 1}$ . جاهای خالی را کامل کنید.
$\lim_{x \to 3} \frac{2x - 1}{x^2 - 4x + 1} = \frac{\lim_{x \to 3} (2x - 1)}{\lim_{x \to 3} (x^2 - 4x + 1)} = \frac{.........}{.........}$
ب) حدهای مقابل را حساب کنید.
$\lim_{x \to 1} \frac{x^4 + 2x^3 + 1}{5x^2 + \frac{2}{3}} = .........$
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{\frac{3}{5} x^2 - 2x + 1} = .........$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 131 - تمرین 2
این تمرین به بررسی **حد توابع گویا** (کسری) میپردازد.
طبق قوانین حد، حد یک کسر برابر است با کسرِ حدهای صورت و مخرج، به شرطی که حد مخرج صفر نباشد.
**حل بخش الف:**
مطابق قانون حد تقسیم، حد را به صورت و مخرج اعمال میکنیم:
در صورت داریم: $2(3) - 1 = 5$
در مخرج داریم: $(3)^2 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2$
پس حاصل برابر است با: $\frac{5}{-2} = -2.5$
جاهای خالی به ترتیب با **5** و **-2** پر میشوند.
**حل بخش ب (قسمت اول):**
مقدار $x=1$ را در صورت و مخرج جایگذاری میکنیم:
صورت: $1^4 + 2(1)^3 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$
مخرج: $5(1)^2 + \frac{2}{3} = 5 + \frac{2}{3} = \frac{15+2}{3} = \frac{17}{3}$
حاصل حد: $\frac{4}{\frac{17}{3}} = \frac{4 \times 3}{17} = \frac{12}{17}$
**حل بخش ب (قسمت دوم):**
مقدار $x=1$ را جایگذاری میکنیم:
صورت: $1^2 - 1 = 0$
مخرج: $\frac{3}{5}(1)^2 - 2(1) + 1 = 0.6 - 2 + 1 = -0.4$
حاصل حد: $\frac{0}{-0.4} = 0$
**نکته آموزشی:**
اگر در حد توابع گویا، صورت صفر شود اما مخرج عددی غیرصفر باشد، حاصل حد همیشه **صفر** است.
**جمعبندی:**
در محاسبه حد توابع کسری، اولین قدم جایگذاری عدد در صورت و مخرج است تا وضعیت کسر مشخص شود.
